Mécanique quantique

La physique quantique est la physique qui permet de décrire les phénomènes du monde microscopique, là où la physique classique atteint ses limites.

Définitions

Critère quantique

Comment délimiter le domaine de validité de l'approche 'classique'?
La physique quantique est caractérisé par la constante de Planck qui a la dimension d'une action ($E=h\nu$).
Alors, on crée une action $S$ avec les données de notre problème et on regarde l'ordre de grandeur de cette action:

$S {{\gt \gt h}}$ physique classique
$S {{\approx h}}$ physique quantique

Définition de la mécanique quantique

La mécanique quantique a pour objectif de décrire le comportement des constituants microscopiques de la matière.
Le domaine quantique traite des objets de très petite taille $\Delta x$ et / ou impulsion $\Delta p$ telles que
$$\Delta x\Delta p\simeq h$$
Avec $h$ la constante de Planck

Notion d'état

Définition de la notion d'état en physique classique

L'état instantané d'un système est la distinction de toutes les valeurs de certaines grandeurs physiques intrinsèques ou extérieurs.
En physique quantique, il existe une notion d'état instantanée mais certaines valeurs des grandeurs physiques ne sont pas définie en vertu d'un principe de superposition.
Principe de superposition
Aussi, l'évolution d'un système quantique peut être vu comme une 'trajectoire' dans l'espace des états.
Espace des états
Mais quelle valeur associé à $\ket{\Psi}=\alpha \ket\Psi_1+\beta \ket\Psi_2$? On a ici une problématique.
De même, lors de la mesure que se passe-t-il?
On alors le problème de la mesure.

Problème de la mesure

Lorsqu'on mesure $\ket{\Psi}= \alpha \ket\Psi_1+\beta \ket\Psi_2$ que se passe-t-il?
Soit un système $S$ à qui on associe un état $E_S$ et un instrument de mesure "parfait" $M$ à qui on associe les états mesurés $E_M$. Alors le système mesuré par l'instrument de mesure est $S\cup M$ à qui on associe un état $E_{SM}=E_S\otimes E_M$ (Produit tensoriel)
En fait, lors de la mesure, il y a une interaction entre le système et l'outil de mesure.
On peut rajouter à cette interaction, l'interaction de l'observateur avec l'outil de mesure.
Exemple: Le chat de Shrödinger
Soit 2 états du chat $\ket{mort},\ket{vivant}$.
Lorsqu'on regarde pour voir si le chat et vivant ou mort, on observe:

$\ket{mort}\to\ket{J'ai vu le chat mort}$
$\ket{vivant}\to\ket{J'ai vu le chat vivant}$
$\alpha\ket{vivant}+\beta\ket{mort}\to\alpha\ket{vivant}\otimes\ket{j'ai vu le chat vivant}+ \beta \ket{mort}\otimes\ket{j'ai vu le chat mort}$ Or ici, on ne sait pas définir cette état.

De cela découle plusieurs interprétations.

Interprétations de la mesure

Interprétation de Copenhague

Cette interprétation postule que lors de la mesure tout se passe comme si tous les états sauf un disparaissaient de manière aléatoire.
Ici, on comprend que 2 états de départ différents donnent un seul et même état. Dans ce cas, cette physique n'est pas réversible.

Interprétation d'Everett

Cette interprétation dit que lors de l'observation de la mesure, l'observation d'un seul état vient de notre perception. Comme nous ne pouvons percevoir deux résultats différents simultanément, notre perception sélectionne aléatoirement une mesure qui ramifie l'univers en une superposition de mondes séparés.

Résultats effectif d'une mesure

Indéterminisme et aléatoire

Si le système est dans un état $\ket {\Psi}$ la mesure conduit toujours à au résultat $\ket{\Psi}$
Si le système est dans un état $\sum_i\alpha_i\ket{\Psi_i}$, alors la mesure conduit aléatoirement à l'un des état $\ket{\Psi_i}$

Il n'existe PAS de variables cachés dans ces systèmes, comme les expériences de Alain Aspect l'ont prouvé.

Probabilités

Ici, les probabilités sont définis par la règle de Born:
Règle de Born

Fonction d'onde

Espace de Hilbert

Espace dual

Espace dual (physique)

Opérateurs

Opérateurs
Opérateurs différentiels
Opérateurs linéaires
Opérateurs adjoints
Opérateurs autoadjoints - hermitiques
Relation de fermeture

Evolution d'un état quantique

L'équation d'évolution

Equation de Schrödinger

Bases et changement de bases

Base orthonormée de l'espace de Hilbert
Relation de fermeture
Matrice de changement de base en mécanique quantique

Math'φsics

Formulaire de report